Как да накарам заявката LIKE да работи в MongoDB?

Използвайте регулярен израз:

db.streets.find( { street_name : /^Al/i } );

или:

db.streets.find( { street_name : { $regex : '^Al', $options: 'i' } } );

http://www.mongodb.org/display/DOCS/Advanced +Queries#AdvancedQueries-RegularExpressions

Превръщане на това в PHP:

$regex = new MongoRegex("/^Al/i");
$collection->find(array('street_name' => $regex));