Самият аз получих отговора, след като ръчно се опитах да свържа SQL Server Management Studio.
Там той приема името на сървъра като localhost. Няма нужда да споменавате името на екземпляра, той се свързва с екземпляра по подразбиране.
Това проработи:
Invoke-Sqlcmd -InputFile 'D:\SQL Scripts\test.sql' -ServerInstance 'localhost' -Database 'Test'