Можете да опитате да актуализирате кода си, за да използвате параметризирана стойност, която ще се справи с кавички в низ:
$query = "INSERT INTO People(name) VALUES(@name)"
$command = $connection.CreateCommand()
$command.CommandText = $query
$command.Parameters.Add("@name", $name) -- | Out-Null (may be required on the end)
$command.ExecuteNonQuery()
Нямам опит с powershell, но споменах тази публикация за параметризирана заявка :