как да се справя с актуализация на MYSQL заявка по този начин

Получавате тази грешка, защото се опитвате да актуализирате screening таблица и в същото време получаване на идентификаторите от същата тази таблица (съединена с users ). Заобиколното решение на това е да използвате подзаявка като такава:

UPDATE screening
   SET maileddate = date('Y-m-d', strtotime($mailed_date[$screeningId]))
 WHERE user_id IN (  
                    select s.id
                      from (

                        SELECT users.id
                          FROM users
                         INNER JOIN screening ON 
                                        users.id = screening.users_id
                                AND screening.id = {$screeningId}
                    ) as s)
   AND date BETWEEN 05-15/2011 AND 11-15-2011
LIMIT 2   

Промених само отстъпа и добавих подзаявката с малки букви.