Не съм на машина с php, за да тествам това, но имате заявки с променливи, както следва...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = $this->id"
Съвсем сигурен съм, че трябва да поставите в скоби или конкатенация, когато използвате обекти...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = ${this->id}"
или
"select id from votes where username = '$user' and article_id = " . $this->id
