AM/PM не работи, използвайки между в sql

По-добре е да съхранявате датите си като DATETIME . Тъй като имате тези стойности, това вече показва, че полетата на вашата база данни не са с date тип, като вмъкване на такива низове в date полета няма да доведат до грешка.

Ако това не е възможно да се промени, тогава можете да използвате STR_TO_DATE функция:

SELECT * 
FROM `task` 
WHERE t_status !=3 
AND   STR_TO_DATE('2018-01-19 03:56 PM', '%Y-%m-%d %h:%i %p') BETWEEN
        STR_TO_DATE(t_started_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p') AND 
        STR_TO_DATE(t_due_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p')

Но това наистина е по-лошо решение.

И все пак очакването ви да получите само един ред изглежда странно. Със сигурност третият ред отговаря на изискването, тъй като началните/крайните дати са преди/след датата, която проверявате, независимо от часовите части.

Допълнение

В коментарите казвате, че искате да приложите различна логика. Предполагам искате да сравните отделно компонентите за дата и час и двата да отговарят на between състояние. Това наистина трябва да бъде обяснено във въпроса, тъй като в момента не е уточнено.

В такъв случай можете да използвате DATE_FORMAT за да извлечете само частта от времето и повторете условието с това:

SELECT *,
       STR_TO_DATE(t_started_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p'),
       STR_TO_DATE(t_due_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p'),
       STR_TO_DATE('2018-01-19 03:56 PM', '%Y-%m-%d %h:%i %p')
FROM `task` 
WHERE t_status !=3 
AND   STR_TO_DATE('2018-01-19 03:56 PM', '%Y-%m-%d %h:%i %p') BETWEEN
        STR_TO_DATE(t_started_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p') AND 
        STR_TO_DATE(t_due_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p')
AND   DATE_FORMAT(STR_TO_DATE('2018-01-19 03:56 PM', '%Y-%m-%d %h:%i %p'), '%h:%i') BETWEEN
        DATE_FORMAT(STR_TO_DATE(t_started_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p'), '%h:%i') AND 
        DATE_FORMAT(STR_TO_DATE(t_due_on, '%Y-%m-%d %h:%i %p'), '%h:%i')

Тази заявка ще изключи 3 реда от резултата.