РЕШЕНО
Всичко, от което се нуждаех, беше да добавя имена на таблици и колони във функциите на моите модели като така:
public function submores()
{
return $this->belongsToMany(Submore::class, 'product_mores', 'product_id', 'submore_id');
}
И също така променете моята функция за запазване от mores
към submores
така:
$product->submores()->sync($request->submores, false);
След това променете name
и for
в моя формуляр към submores
<label for="submores">Attributes</label>
<select class="tagsselector form-control" name="submores[]" multiple="multiple">
//// rest of the code...