Добавен mysql jar към lib, но все още е изправен пред клас, който не е намерен, изключение при локално внедряване към tomcat, работещ през intelliJ?

Имате provided обхват за буркана на драйвера jdbc. В тези случаи той не се копира в артефакта, който внедрявате в tomcat. Трябва да го посочите като compile обхват.

Можете също да добавите към tomcat classpath jar, както е описано тук https://stackoverflow.com/a/7198049 /2000323 за всички приложения. След това трябва да посочите обхвата като provided така че един и същ буркан да не бъде разгърнат два пъти.