Вмъкване в MySQL база данни с jQuery и PHP

Разглеждайки заявката ви, предполагам, че трябва да бъде:

$query = "INSERT INTO tz_navbar (name) VALUES ('".$name."')";

Ако това не го поправи, трябва да регистрирате стойността на $_REQUEST

error_log(print_r($_REQUEST,true));

за да сте сигурни, че получавате правилните стойности от страна на сървъра.