Възможно ли е да преместите запис от една таблица в друга с помощта на един SQL оператор?

Не, не можете да премествате записи в един SQL израз. Трябва да използвате INSERT последвано от DELETE изявление. Трябва да обвиете тези изявления в транзакция , за да се уверите, че операцията за копиране остава атомарна.

START TRANSACTION;

INSERT INTO 
    new_table 
SELECT 
    *
FROM
    old_table
WHERE
    some_field = 'your_criteria';

DELETE FROM old_table WHERE some_field = 'your_criteria';

COMMIT;