Данните са нула. Този метод или свойство не може да бъде извикан за нулеви стойности. (с помощта на комбинирано поле)

Когато едно или повече от вашите полета съдържат NULL (DBNull.Value), не можете да използвате GetString върху тях.
Трябва да проверите дали са нулеви, като използвате метода IsDBNull и вместо това изберете каква стойност искате да поставите в текстовото поле. Обикновено това е празен низ

private void comboBox1_SelectedIndexChanged(object sender, EventArgs e)
{
    string constring = "datasource=localhost;port=3306;username=root;password=root";
    string Query = "SELECT * from database.check WHERE patientname IS NOT NULL";
    using(MySqlConnection conDataBase = new MySqlConnection(constring))
    using(MySqlCommand cmdDataBase = new MySqlCommand(Query, conDataBase))
    {
        try
        {
            conDataBase.Open();
            using(MySqlDataReader myReader = cmdDataBase.ExecuteReader())
            {
                int namePos = myReader.GetOrdinal("namethestore");
                int checkerPos = myReader.GetOrdinal("checkername");
                while (myReader.Read())
                {
                    string namethestore = myReader.IsDBNull(namePos) 
                                          ? string.Empty 
                                          : myReader.GetString("namethestore");
                    string checkername = myReader.IsDBNull(checkerPos) 
                                          ? string.Empty
                                          : myReader.GetString("checkername");
                    this.textBox65.Text = namethestore;
                    this.textBox66.Text = checkername;
                }
           }
      }
}

Предлагам също да използвате изявлението за използване около предметите за еднократна употреба. Това ще осигури правилно затваряне и изхвърляне, когато вече не се нуждаете от тях, също и в случай на изключения.....