Facepalm!!!
Docker контейнерите комуникираха добре, проблемът беше, че не бях казал на Resque (приложението, използващо Redis) къде да го намеря. Благодаря ви на "The Real Bill", че посочи, че трябва да използвам docker-cli.
За всеки друг, който използва Docker и Resque, имате нужда от това във вашия config/initializers/resque.rb файл:
Resque.redis = Redis.new(host: 'redis', port: 6379)
Resque.after_fork = Proc.new { ActiveRecord::Base.establish_connection }