Как мога да направя заявка с mongoose от функция, използваща параметър?

Използвайте нотация в скоби за да създадете динамично обекта на заявката, така че можете да преструктурирате функцията си, както следва:

function _partialSearch (Model, searchText, key, res) {
    var search = new RegExp(searchText, "i"),
        query = {};
    query[key] = { $regex : search };

    Model.find(query)
         .exec(function (err, docs) {
            if(err) log(err);
            else {
                res.json(docs);
            }
         });
}