mongoose document.save не работи

Премахнете process.exit() част или го обвийте в таймаут. Не давате на вашата база данни достатъчно време за изпълнение. напр. поставете това в края вместо това:

...
setTimeout(() => process.exit(0), 2000); 

Редактиране:или добавяне на обещания, както някой коментира:

exports.addUser = function(user, password) {
  var data = new User({ _id: user, password: password });
  return data.save()
  .then(() => console.log('User ' + user + ' added'))
  .catch(function(error) {
    console.log('ERROR: ' + error);
    else {  return false; }
 });  
};

След това във вашия основен цикъл:

const promises = users.map(userData => addUser(userData));
Promise.all(promises)
.then(() => {
  console.log('All users added.');
  // .. do another async operation here, or process.exit();
});