И разбира се намирам отговора веднага след публикуването на въпроса. От този отговор решението е да добавите [BsonIgnoreIfDefault]
атрибут към идентификатора. В примера от въпроса би било:
public class MongoObject
{
[BsonId(IdGenerator = typeof(StringObjectIdGenerator))]
[BsonRepresentation(BsonType.ObjectId)]
[BsonIgnoreIfDefault] // <--- this is what was missing
public string MongoID { get; set; }
public int Index { get; set; }
}