Трябва да използвате нотацията с точки за масивите.
Това означава, че трябва да замените $ с индекса на базата на нула на елемента, който се опитвате да актуализирате.
Например:
db.users.update ({_id: '123'}, { '$set': {"friends.0.emails.0.email" : '2222'} });
ще актуализира първия имейл на първия приятел и
db.users.update ({_id: '123'}, { '$set': {"friends.0.emails.1.email" : '2222'} })
ще актуализира втория имейл на първия приятел.
