Датата не се изпраща на mysql

Опитайте да добавите отметки около полето за дата във вашата заявка. При условие, че сте СИГУРНИ, че въвеждането е във формат Y-m-d, това най-вероятно ще реши проблема ви:

$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");

if(!$result) {
    echo "Error: " . $link->error);
    die();
}

$result->close();
$link->close();